Tài liệu gồm 217 trang, trình bày lý thuyết và hướng dẫn giải một số bài toán nâng cao thuộc chuyên đề dãy số và các bài toán về dãy số, giúp học sinh bồi dưỡng kiến thức học sinh giỏi môn Toán bậc THPT, để chuẩn bị cho kỳ thi HSG Toán THPT các cấp: cấp tỉnh, cấp quốc gia, cấp quốc tế.
Mục lục tài liệu dãy số và các bài toán về dãy số: 1 Dãy số và các bài toán về dãy số. 1.1 Giới thiệu. 1.2 Định nghĩa và các định lý cơ bản. 1.3 Một số phương pháp giải bài toán về dãy số. 1.3.1 Dãy số thực: một số dạng dãy số đặc biệt. 1.3.2 Dãy số nguyên. 1.3.3 Dãy số và phương trình. 1.3.4 Một vài thủ thuật khác. 1.4 Một số phương pháp xây dựng hệ thống bài tập. 1.4.1 Xây dựng dãy hội tụ bằng phương trình. 1.4.2 Xây dựng dãy truy hồi từ cặp nghiệm của phương trình bậc hai. 1.4.3 Xây dựng các dãy số nguyên từ lời giải các phương trình nghiệm nguyên. 1.4.4 Xây dựng dãy số là nghiệm của một họ phương trình phụ thuộc biến n. 1.5 Lý thuyết dãy số dưới con mắt toán cao cấp. 1.5.1 Rời rạc hóa các khái niệm và định lý của lý thuyết hàm biến số thực. 1.5.2 Phương pháp hàm sinh và bài toán tìm số hạng tổng quát. 1.5.3 Đại số tuyến tính và phương trình sai phân. 1.5.4 Sử dụng xấp xỉ trong dự đoán kết quả. 1.6 Bài tập. 2 Phương trình sai phân. 2.1 Sai phân. 2.1.1 Định nghĩa. 2.1.2 Tính chất. 2.2 Phương trình sai phân tuyến tính. 2.2.1 Một số khái niệm chung về phương trình sai phân. 2.3 Phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất. 2.3.1 Định nghĩa. 2.3.2 Phương pháp giải. 2.3.3 Phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất khi vế phải f[n] có dạng đặc biệt. 2.3.4 Bài tập. 2.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2. 2.4.1 Định nghĩa. 2.4.2 Cách giải. 2.5 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 3. 2.5.1 Định nghĩa. 2.5.2 Phương pháp giải. 2.5.3 Ví dụ. 2.5.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp k. 3 Xác định số hạng tổng quát của một dãy số. 3.1 Tìm số hạng tổng quát của dãy [dạng đa thức] khi biết các số hạng đầu tiên. 3.2 Công thức truy hồi là một biểu thức tuyến tính. 3.2.1 Ví dụ. 3.3 Công thức truy hồi là một hệ biểu thức tuyến tính. 3.3.1 Ví dụ. 3.4 Công thức truy hồi là biểu thức tuyến tính với hệ số biến thiên. 3.5 Công thức truy hồi dạng phân tuyến tính với hệ số hằng. 3.6 Hệ thức truy hồi phi tuyến. 3.6.1 Quy trình tuyến tính hoá một phương trình sai phân. 3.6.2 Ví dụ. 3.6.3 Một số ví dụ khác. 3.6.4 Bài tập. 4 Phương trình hàm sai phân bậc hai. 4.1 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính. 4.2 Phương trình hàm sai phân bậc hai với hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn. 4.3 Phương trình với hàm số tuần hoàn, phản tuần hoàn nhân tính. 4.3.1 Định nghĩa. 4.3.2 Một số bài toán. 4.3.3 Một số ví dụ áp dụng. 5 Dãy số sinh bởi hàm số. 5.1 Hàm số chuyển đổi phép tính số học và đại số. 5.2 Về các dãy số xác định bởi dãy các phương trình. 5.3 Định lý về ba mệnh đề tương đương. 5.4 Một số bài toán về ước lượng tổng và tích. 5.5 Bài tập. 6 Một số lớp hàm chuyển đổi các cấp số. 6.1 Cấp số cộng, cấp số nhân và cấp số điều hoà. 6.2 Dãy số tuần hoàn. 6.3 Hàm số chuyển đổi cấp số cộng. 6.4 Hàm số chuyển đổi cấp số cộng vào cấp số nhân. 6.5 Hàm số chuyển đổi cấp số nhân vào cấp số cộng. 6.6 Hàm số chuyển đổi cấp số nhân vào cấp số điều hoà. 7 Một số lớp hàm chuyển đổi các cấp số trong tập rời rạc. 7.1 Hàm số chuyển đổi cấp số cộng thành cấp số cộng. 7.2 Hàm số chuyển đổi cấp số nhân thành cấp số nhân. 8 Một số bài toán xác định dãy số trong lớp dãy tuần hoàn cộng tính và nhân tính. 8.1 Một số bài toán xác định dãy số trong lớp dãy tuần hoàn cộng tính. 8.2 Hàm số xác định trên tập các số nguyên. 8.2.1 Hàm số chuyển đổi các phép tính số học. 8.2.2 Hàm số chuyển tiếp các đại lượng trung bình. 8.2.3 Phương trình trong hàm số với cặp biến tự do. 8.2.4 Một số dạng toán liên quan đến dãy truy hồi. 8.3 Hàm số xác định trên tập các số hữu tỷ. 8.4 Phương trình trong hàm số với cặp biến tự do. 8.5 Sử dụng giới hạn để giải phương trình hàm. Tài liệu tham khảo.
Xem thêm: + Phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số – Nguyễn Tất Thu + Tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng phương pháp sai phân – Mai Xuân Việt
- Dãy Số – Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]
- 1. BÀI TOÁN VỀ DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT [Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán ] Tài liệu này hệ thống 9 loại dãy số viết có quy luật, từ đó ra thành 30 bài toán để HSG có thể rèn luyện, với mỗi dạng có công thúc tổng quát dễ áp dụng. ØBài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau: a] 3, 8, 15, 24, 35, ... b] 3, 24, 63, 120, 195, ... c] 1, 3, 6, 10, 15, ... d] 2, 5, 10, 17, 26, ... e] 6, 14, 24, 36, 50, ... f] 4, 28, 70, 130, 208, ... g] 2, 5, 9, 14, 20, ... h] 3, 6, 10, 15, 21, ... i] 2, 8, 20, 40, 70, ... Hướng dẫn: a] n[n+2] b] [3n-2]3n c] n[n + 1]:2 d] 1+n2 e] n[n+5] f] [3n-2][3n+1] g] n.[n + 3]:2 h] n.[[ n+1][ n + 2] ] :2 i] n.[[ n+1][ n + 2] ] : 3 ØBài 2: Tính giá trị của A, biết: a] A = 1+2+3+…+[n-1]+n b] A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100 Hướng dẫn: a] Tổng các giá trị của dãy số tự nhiên từ 1 đến n thay giá trị n vào => tính được A 1 A = 1+2+3+…+[n-1]+n = n [n+1]:2 [*1]
- 2. vế với 3, trong đó từ số hạng thứ 2 thay vì nhân 3 ta nhân [4-1]=3 3A = 1.2.3+2.3[4-1]+3.4.[5-2]+...+99.100.[101-98] 3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.101-98.99.100 3A = 99.100.101 A = 333300 Tổng quát: Dãy số b] với số cuối cùng là n thì: ØBài 3: Tính giá trị của A, biết: A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101 Hướng dẫn: thay thừa số 3, 4, 5, 6.....101 bắng [2+1], [3+1], [4+1].....[100 +1] Ta có A = 1[2+1]+2[3+1]+3[4+1]+...+99[100+1] A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+...+99.100+99 A = [1.2+2.3+3.4+...+99.100]+[1+2+3+...+99] A = 333300 + 4950 = 338250 Dãy đầu áp dụng công thức [*2] , Dãy sau công thức [*1] Tổng quát: A = 0.1 + 1.3+2.4+3.5+...+[n-1][n+1] Lưu ý số hạng đầu =0 với n=1 A= [n-1]n[n+1]:3 + n[n-1]:2 ØBài 4: Tính: A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102 = ? Hướng dẫn: thay thừa số 4, 5, 6.....102 bắng [2+2], [3+2], [4+2].....[100 +2] ta có : A = 1[2+2]+2[3+2]+3[4+2]+...+99[100+2] A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+...+99.100+99.2 A = [1.2+2.3+3.4+...+99.100]+2[1+2+3+...+99] A = 333300 + 9900 = 343200 Dãy đầu áp dụng công thức [*2] , Dãy sau công thức [*1] ØBài 5: Tính: A = 4+12+24+40+...+19404+19800 2 A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +.…+ [n – 1] n = ⅓.n. [n – 1 ].[n + 1] [*2] A = 1.3+2.4+3.5+...+[n-1][n+1] =n/6 [ [n-1] .[2n+1] ] [*3]
- 3. 2 vế cho 2 ta có ½.A = 1.2+2.3+3.4+4.5+...+98.99+99.100 Áp dụng công thức [*2] t ính ra A= 666600 Bài 6: Tính: A = 1+ 3 + 6 +10 +...+4851+4950 = ? EHướng dẫn: Nhân 2 vế với 2 và biến đổi để vế phải là dạng [*2]; ta có 2A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100 = 333300 => A= 333300:2 = 166650 Bài 7: Tính: A = 6+16+30+48+...+19600+19998 =? EHướng dẫn: Chi 2 vế cho 2 và biến đổi để vế phải là dạng [*3]; ta có ½ A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101 => A = 338250 x 2 = 676500 Bài 8:Tính: A = 2+5+9+14+...+4949+5049 =? EHướng dẫn: Nhân 2 vế với 2 ta đưa về dạng Bài 4 [ở trên] 2A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102 A = 343200:2 = 171600 Bài 9: Tính: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100 = ? EHướng dẫn: Nhân 2 vế với 4 và biến đổi ta có 4A = 1.2.3.4+2.3.4[5-1]+3.4.5.[6-2]+...+98.99.100.[101-97] 4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+98.99.100.101-97.98.99.100 4A = 98.99.100.101 => A = 2449755 Tổng quát: Bài 10: Tính tổng các bình phương của 100 số tự nhiê n đầu tiên A = 12 +22 +32 +...+992 +1002 EHướng dẫn: 3 A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+[n-2][n-1]n = ¼ .[n-2][n-1]n[n+1] [*4]
- 4. = 1+1.2+2+2.3+3+...+98.99+99+99.100+100 A = [1.2+2.3+3.4+...+99.100]+[1+2+3+...+99+100] A = 333300 + 5050 = 338050 Tổng quát: A = [n-1] n [n+1]:3 + n[n +1]:2 Bài 11: Tính tổng các bình phương của 50 số chẵn đầu tiên [ 2,4,6,8.....98,100]: A = 22 +42 +62 +...+982 +1002 = ? EHướng dẫn: Tách 22 làm thừa số chung rồi áp dụng công thức [*5] A = 22 .[12 +22 +32 +...+492 + 502 ] Bài 12: Tính tổng các bình phương của 50 số lẻ đầu tiên A = 12 +32 + 52 +...+972 +992 = ? EHướng dẫn: Lấy tổng các bình phương của 100 số tự nhiên đầu tiên trừ tổng các bình phương của 50 số chẵn đầu tiên A = [12 +22 +32 +...+992 +1002 ] – 22 .[12 +22 +32 +...+492 + 502 ] Bài 13: Tính: A = 12 – 2 2 +32 – 42 +...+ 992 – 1002 EHướng dẫn: Lấy tổng các bình phương của 100 số tự nhiên đầu tiên trừ 2 lân tổng các bình phương của 100 số chẵn đầu tiên A = [12 +22 +32 +...+992 +1002 ] – 2.[12 +22 +32 +...+992 + 1002 ] Bài 14:Tính: A = 1.22 +2.32 +3.42 +...+98.992 = ? EHướng dẫn: A = 1.2[3-1]+2.3[4-1]+3.4[5-1]+...+98.99[100-1] A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100-98.99 4 A = 12 +22 +32 +...+992 +1002 = n[n+1][2n+1]:6 [*5]
- 5. 15:Tính: A = 1.3+3.5+5.7+...+97.99+99.101 =? EHướng dẫn: Đổi thừa thừa sô thứ 2 của các số hạng thành tổng [1+2], [3+2]; [5+2]………99 +2] A = 1[1+2]+3[3+2]+5[5+2]+...+97[97+2]+99[99+2] A = [12 +32 +52 +...+972 +992 ]+2[1+3+5+...+97+99] ØBài 16: Tính: A = 2.4+4.6+6.8+...+98.100+100.102 EHướng dẫn: A = 2[2+2]+4[4+2]+6[6+2]+...+98[98+2]+100[100+2] A = [22 +42 +62 +...+ 982 +1002 ]+4[1+2+3+...+49+50] ØBài 17: Tính: A = 13 +23 +33 +...+993 +1003 EHướng dẫn: A = 12 [1+0]+22 [1+1]+32 [2+1]+...+992 [98+1]+1002 [99+1] A = [1.22 +2.32 +3.42 +...+98.992 +99.1002 ]+[12 +22 +32 +...+992 +1002 ] A = [1.2[3-1]+2.3[4-1]+3.4[5-1]+...+98.99[100-1]] +[12 +22 +32 +...+992 +1002 ] A = [1.2.3 – 1.2+2.3.4 – 2.3+3.4.5 – 3.4+...+98.99.100 – 98 .99] + [12 + 22 + 32 +...+992 +1002 ] A = [1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100] – [1.2+2.3+3.4+...+98.99] [12 +22 +32 +...+992 +1002 ] ØBài 18:Tính: A = 23 +43 +63 +...+983 +1003 EHướng dẫn: ØBài 19:Tính: A = 13 +33 +53 +...+973 +993 EHướng dẫn: Lấy dãy số của bài 17 trừ dãy của bài 18 ØBài 20: Tính: A = 13 –23 +33 –43 +...+993 –1003 Hướng dẫn: ØBài 21 : Tính tổng: 5
- 6. – 6 – 8 + 10 + 12 – 14 – 16 + 18 + 20 – 22 – 24 …- 2008 ØBài 22: Cho A = 1 – 2 + 3 – 4 +....... 99 – 100 a] Tính A. b] A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ? c] A có bao nhiêu ước tự nhiên. Bao nhiêu ước nguyên ? ØBài 23:Cho A= 1– 7 + 13 – 19 + 25 – 31 +.... a] Biết A = 181. Hỏi A có bao nhiêu số hạng ? b] Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n ? ØBài 24:Cho A= 1– 7 + 13 – 19 + 25 – 31 +.... a] Biết A có 40 số hạng. Tính giá trị của A. b] Tìm số hạng thứ 2004 của A. ØBài 25:Tìm giá trị của x trong dãy tính sau: [x+2]+[x+12]+[x+42]+[x+47] = 655 ØBài 26: a] Tìm x biết : x + [x+1] + [x+2] + [x+3] + …+ [x+2009] = 2009.2010 b] Tính M = 1.2+2.3+3.4+ …+ 2009. 2010 ØBài 27:Tính tổng: S= 9.1 + 99.101 + 999.1001+.....99999.100001 =? ØBài 28: Cho A= 3 + 32 + 33 + 34 +.....3100 Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n ØBài 29: Cho M = 3 + 32 + 33 + 34 +.....3100 Hỏi : a. M có chia hết cho 4, cho 12 không ? vì sao? b.Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M+3 = 3n . ØBài 30: Cho biểu thức: M = 1 +3 + 32 + 33 +…+ 3118 + 3119 a] Thu gọn biểu thức M. b] Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao? _____________________________________________________________- Sưu tầm và chỉnh lí bổ sung : Phạm Huy Hoạt 10 – 2012 [Nguồn tham khảo chính : www.doimoigiaoduc.com] 6
- 7. – 6 – 8 + 10 + 12 – 14 – 16 + 18 + 20 – 22 – 24 …- 2008 ØBài 22: Cho A = 1 – 2 + 3 – 4 +....... 99 – 100 a] Tính A. b] A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ? c] A có bao nhiêu ước tự nhiên. Bao nhiêu ước nguyên ? ØBài 23:Cho A= 1– 7 + 13 – 19 + 25 – 31 +.... a] Biết A = 181. Hỏi A có bao nhiêu số hạng ? b] Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n ? ØBài 24:Cho A= 1– 7 + 13 – 19 + 25 – 31 +.... a] Biết A có 40 số hạng. Tính giá trị của A. b] Tìm số hạng thứ 2004 của A. ØBài 25:Tìm giá trị của x trong dãy tính sau: [x+2]+[x+12]+[x+42]+[x+47] = 655 ØBài 26: a] Tìm x biết : x + [x+1] + [x+2] + [x+3] + …+ [x+2009] = 2009.2010 b] Tính M = 1.2+2.3+3.4+ …+ 2009. 2010 ØBài 27:Tính tổng: S= 9.1 + 99.101 + 999.1001+.....99999.100001 =? ØBài 28: Cho A= 3 + 32 + 33 + 34 +.....3100 Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n ØBài 29: Cho M = 3 + 32 + 33 + 34 +.....3100 Hỏi : a. M có chia hết cho 4, cho 12 không ? vì sao? b.Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M+3 = 3n . ØBài 30: Cho biểu thức: M = 1 +3 + 32 + 33 +…+ 3118 + 3119 a] Thu gọn biểu thức M. b] Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao? _____________________________________________________________- Sưu tầm và chỉnh lí bổ sung : Phạm Huy Hoạt 10 – 2012 [Nguồn tham khảo chính : www.doimoigiaoduc.com] 6