Các bài tập về hằng đẳng thức lớp 8

BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ LỚP 8A. Lý thuyết1. Bình phương của một tổng- Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng với hai lần tích số thứnhân nhân số thứ hai rồi cộng với bình phương số thứ hai.[A + B]2 = A2 + 2AB + B2Ví dụ:  x  2   x 2  2.x.2  22  x 2  4x  422. Bình phương của một hiệu- Bình phường của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ đi hai lần tích số thứ nhấtnhân số thứ 2 rồi cộng với bình phương số thứ hai.[A - B]2 = A2 - 2AB + B2Ví dụ:  x  1  x 2  2.x.1  12  x 2  2x  123. Hiệu hai bình phương- Hiệu hai bình phương bằng hiệu hai số đó nhân tổng hai số đó.A2 – B2 = [A + B][A – B]222Ví dụ: x  4  x  2   x  2   x  2 4. Lập phương của một tổng- Lập phương của một tổng = lập phương số thứ nhất + 3 lần tích bình phương số thứnhất nhân số thứ hai + 3 lần tích số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai + lập phươngsố thứ hai.[A + B]3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3Vú dụ:  x  1  x 3  3.x 2 .1  3.x.12  13  x 3  3x 2  3x  135. Lập phương của một hiệu- Lập phương của một hiệu = lập phương số thứ nhất - 3 lần tích bình phương số thứ nhấtnhân số thứ hai + 3 lần tích số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai - lập phương sốthứ hai.[A - B]3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 Ví dụ:  x  1  x 3  3.x 2 .1  3.x.12  13  x 3  3x 2  3x  136. Tổng hai lập phương- Tổng của hai lập phương bằng tổng hai số đó nhân với bình phương thiếu của hiệu.A3 + B3 = [A + B][A2 – AB + B2]3332Ví dụ: x  8  x  2   x  2  x  2x  47. Hiệu hai lập phương- Hiệu của hai lập phương bằng hiệu của hai số đó nhân với bình phương thiếu của tổng.A3 – B3 = [A – B][A2 + AB + B2]3332Ví dụ: x  8  x  2   x  2  x  2x  4B. Bài tậpBài tốn 1: Tính1. x  2y 2. 2x  3y 23. 3x  2y 24. 5x  y 5.� 1��x  �� 4�6.1���2x  �2��22�x�11. �  2y ��2�12.214.22x  8y22� 1�15. �x  y  3�� 6�229.228.2x  y�3�13. � x  3y ��2�27.1 ��1� x  y�2 ��3 3x  1  3x  1�2 2 ��2 2 ��x  y ��x  y �� 5 �� 5 ��1�16. � x  4y ��2��x�x2�2�17. �  2y ��  2y ��2��2�2218. x  4 x  419.  x  y    x  y 22 10.�x��x��  y��  y��2��2�20.  2x  3   x  122Bài tốn 2: Tính3� 1�1. �x �� 3�2. 2x  y 3.�1 2 1 �� x  y�3 ��22 334. 3x5.�2 2 1 �� x  y�2 ��32 2y 338. x  1  x 2  x  19. x  3  x 2  3x  9 10. x  2   x 2  2x  4 11. x  4   x 2  4x  16 12. x  3y   x 2  3xy  9y 2 13.�2 1 ��4 1 2 1 ��x  ��x  x  �9�� 3�� 314.�1��1 2 22�� x  2y �� x  xy  4y �3�3��9�8. 3x  2 9.4x 2  25y 210.4x 2  4911.8z3  2731��6. �2x  �2��37.  x  3Bài toán 3: Viết các đa thức sau thành tích1.x 2  6x  925  10x  x 21 2a  2ab2  4b 43.41 2 44. y  y89 3335. x  8y2.12.8y3  12513.a 6  b38. x 2  10x  2514.6.7.15.249 4 1x 25432x 14x 2  4x  1x 2  20x  100 18210. x  4xy  4y 239. 8x 16.17.y 4  14y 2  49125x 3  64y 3Bài toán 4: Tính nhanh1.2.1001229,9.30,14.201237.435.19923.6. 37 2  2.37.13  1327. 51,7  2.51,7.31,7  31,7 28. 20,1.19,99. 31,82  2.31,8.21,8  21,8210. 33,32  2.33,3.3,3  3,32Bài toán 5: Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức2. x  10   x  x  80  với x  0,982 2x  9   x  4x  31 với x  16,23.4x 2  28x  49 với x  41 21y với x   , y  525527. 27   x  3  x  3x  9  với x  34.x 3  9x 2  27x  27 với x  58. x 3  3x 2  3x  1 với x  991.25. 9x 2  42x  49 với x  126. 25x  2xy Bài toán 6: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tổng hoặc hiệu hai bình phương1. x 2  10x  26  y 2  2y6. 4x 2  2z 2  4zx  2z  17.  x  y  4   x  y  4 2.z 2  6z  13  t 2  4t3.x 2  2xy  2y 2  2y  18.  x  y  6   x  y  6 4.4x 2  2z 2  4xz  2z  14x 2  12x  y 2  2y  810.  x  2y  3z   2y  3z  x 5.9.  y  2z  3  y  2z  3 Bài tốn 7: Tìm x, biết:1.25x 2  9  06.3  x  1  3x  x  5   12 2. x  33.x 2  2x  244. x  45. 2x  122240  x  1  x  1  16  x  3  5  x  7   x  7   027. 6x  2    5x  2   4  3x  1  5x  2   038.  x  2   x 2  x  6   429. x  1  x 2  x  1  x  x  2   x  2   510. x  13  x  3  x 2  3x  9   3  x 2  4   2Bài tốn 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức4.x 2  5x  7x 2  20x  1014a 2  4a  2x 2  4xy  5y 2  10x  22y  285.x 2  3x  71.2.3.Bài tốn 9: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức1.2.3.4.5.6x  x 2  54x  x 2  3x  x211  10x  x 2x42 x 4Bài toán 10: Cho x  y  5 . Tính giá trị của các biểu thứca]b]P  3x 2  2x  3y 2  2y  6xy  100Q  x 3  y3  2x 2  2y 2  3xy  x  y   4xy  3  x  y   10Bài toán 11:x  y  3 và x 2  y 2  5. Tính x 3  y3 .Cho x  y  5 và x 2  y 2  15. Tính x 3  y3.a] Chob]2Bài tốn 12: Cho x  y  7. Tính giá trị của các biểu thức: a]b]M  x 3  3xy  x  y   y3  x 2  2xy  y 2N  x 2  x  1  y 2  y  1  xy  3xy  x  y  1  95Bài toán 13: Cho số tự nhiên n chia cho 7 dư 4. Hỏi n 2 chia cho 7 dư bao nhiêu? n 3 chia cho 7dư bao nhiêu?Bài tốn 14: Tínha]  x  2y b]  3x  2y 23� 1�c] �2x  �� 2�23�x��x� � 1�d] �  y ��  y � e] �x  ��2��2� � 3�f]  x  2  x 2  2x  4Bài toán 15: Viết các đa thức sau thành tícha]x 3  8y3b]a 6  b3c]8y3  125Bài toán 16: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thứca]  x  10   x  x  80  khi x=0,982b]  2x  9   x  4x  31 khi x=-16,22c]4x 2  28x  49 khi x=4d]x 3  9x 2  27x  27 khi x = 5Bài tốn 17: Tìm x, biếta]  x  3  4  02b]x 2  2x  24Bài toán 18: Chứng minh:a]  a  b     b  a 3b]  a  b    a  b 232c]  x  y   x  x  3y   y  y  3x 32d]  x  y    x  y   2y y 2  3x 2332Bài tốn 19: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a]A  x 2  20x  101b]B  4x 2  4x  2c]C  x 2  4xy  5y 2  10x  22y  28d]D  2x 2  6xBài tốn 20: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứca]M  4x  x 2  3b]N  x - x 2c]P  2x  2x 2 - 5Bài 21 : Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng222�1�a. �  x �;  2 x  1�2�b.  2 x  3 y  ;  0,01  xy 22�1�c. �  x �;  2 x  1 ;�2�;d .  2 x  3 y  ;  0,01  xy 22e.  x  1  x  1 ;2g.  x  y  z  .  x  y  z  ;h.  x  y  z  .  x  y  z f .  x  2 y   x  2 y  ;  56.64 Bài 22 : Viết các biểu thức sau dưới dạng tícha.m 2  n 2b.  x 2  x  1   x 2  2 x  32c.  16   x  322d .64  16 y  y 2Bài 23 : Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng2a.  5 x  2 y 2b.  3x  2 221 ��2c. � x  y �3 ��35�d.�2x 2�� 4 �e. �x  y 2 �� 3 �22� 2 5 �f .�2x  y �3 ���y��Bài 24 : Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng333�1�a. �  x �;  2 x  1 ;�2�b.  2 x  3 y  ;  0,01  xy 3e.  x  1  x 2  x  1 ;3�1�c. �  x �;  2 x  1 ;�2�3f .  x  2 y   x 2  2 xy  4 y 2 d .  2 x  3 y  ;  0,01  xy 33g.  x  y  z  ;  x  y  z  ;2h.  x  y  z 22 Bài 25 : Viết các biểu thức sau dưới dạng tổnga.  3  xy 2  ;  2m 2n  10  ;c.  a 2  2a  3  a 2  2a  3 ;e.  a 2  2a  3  a 2  2a  3 ;g .   a 2  2 a  3   a 2  2 a  3  ;22d .  a 2  2 a  3  a 2  2 a  3b.  a  b2   a  b2 f .  a 2  2a  3  a 2  2a  3h.  a 2  2a   2a  a 2 Bài 26 : Viết các biểu thức sau dưới dạng tích141d .x 2  x 4c. x 2  x a.1, 24 2  0,24 21b.  8 x 38Bài 27 : Viết các biểu thức sau dưới dạng tíchb. 4a 2b2  c 2d 2 ; a 3  27; x16  y16a. x 4  4 x 2  4;9a 4  24a 2b2  16b418c. x 3  125; 64  x 3 ;d. 8 x 3  60 x 2 y  150 xy 2  125 y 3Bài 28: Viết các biểu thức sau dưới dạng tích49a. 9 x 2  30 x  25; x 4  16 x 2b.12 2 24 4x y  9x4 y525c. a 2 y 2  b 2 x 2  2axbyd. 64 x 2   8a  b e. 100   3x  y g. 27x 3  a 3b322Bài 29 : Viết biểu thức sau dưới dạng tícha. 27 x 3  27 x 2  3x  1c.b. x 3  3x 2  3x  11 x327d. 0,001  1000x 3Bài 30 : Dựa vào các hằng đẳng thức để tính nhanha. 252 - 152b. 2055 - 952d. 9502 - 8502c. 362 - 142e. 1,242  2, 48.0,24  0, 242Bài 31 : viết biểu thức  4n  3  25 thành tích2 chứng minh với mọi số nguyên n biểu thức  4n  3  25 chia hết cho 82Bài 32 : chứng minh với mọi số nguyên n biểu thức  2n  3  9 chia hết cho 42Bài 33 : Viết biểu thức sau dưới dạng tícha.  x  y  x   2  x  y  x   y  z    y  z 2b.  x  y  x    y  z 22c.  x  3  4  x  3  4d. 25  10  x  1   x  12e.  x  2   2  x  2   x  2    x  2 222f.  x  3  2  x 2  9    x  3222Bài 34. Điền vào dấu ? một biểu thức để được một hằng đẳng thức , có mấy cách điền2b.  x  x  1 . ?a. [ x + 1 ] . ?2c.  x  2 x  4  . ?d. [ x - 2 ] . ?e. x 2  2 x  ?2g.  4 x  ? 4 2h.  x  x  1 . ?i. ? + 8x + 16Bài 35. Viết biểu thức sau dưới dạng tícha. x2 - 2b. y2 - 13d.  x 2  1   y  322e.  a 2  b2    a 2  b2 2c. 2x2 - 42g. a 6  b6Bài 36. Viết biểu thức sau dưới dạng tíchc.8   4 x  3a.  4 x 2  9 y 2b.  x  1   2  x 333d .81   9  x 2  .2Bài 37. Viết biểu thức sau dưới dạng tổnga.  x  y  z  t  .  x  y  z  t b.  x  y  z  t  .  x  y  z  t Bài 38 . Viết biểu thức sau dưới dạng tổnga.  x  2 y  3z  t  .3b.  x 2  2 x  1 .2 a.  x 2  2 x  1 .c.  x  1  x 2  1  x 4  12d .2.  3  1  32  1  34  1e.  m 2  2m  3 .2C: Bài tập nâng cao cho các hằng đẳng thứcI. Bài tập có đáp án kèm theoBài 1. Cho đa thức 2x² – 5x + 3 . Viết đa thức trên dưới dạng 1 đa thức của biến y trong đó y = x+ 1.Lời GiảiTheo đề bài ta có: y = x + 1 => x = y – 1.A = 2x² – 5x + 3= 2[y – 1]² – 5[y – 1] + 3 = 2[y² – 2y + 1] – 5y + 5 + 3 = 2y² – 9y + 10Bài 2. Tính nhanh kết quả các biểu thức sau:a] 127² + 146.127 + 73²b] 98 .28 – [184 – 1][184 + 1]c] 100² – 99² + 98² – 97² + …+ 2² – 1²d] [20² + 18² + 16² +…+ 4² + 2²] – [ 19² + 17² + 15² +…+ 3² + 1²]Lời Giảia] A = 127² + 146.127 + 73² = 127² + 2.73.127 + 73² = [127 + 73]² = 200² = 40000 .b] B = 98 .28 – [184 – 1][184 + 1] = 188 – [188 – 1] = 1c] C = 100² – 99² + 98² – 97² + …+ 2² – 1²= [100 + 99][100 – 99] + [98 + 97][98 – 97] +…+ [2 + 1][2 – 1]= 100 + 99 + 98 + 97 +…+ 2 + 1 = 5050.d] D = [20² + 18² + 16² +…+ 4² + 2²] – [ 19² + 17² + 15² +…+ 3² + 1²]= [20² – 19²] + [18² – 17²] + [16² – 15²]+ …+ [4² – 3²] + [2² – 1²]= [20 + 19][20 – 19] + [18 + 17][18 – 17] + [ 16 +15][16 – 15]+ …+ [4 + 3][4 – 3] + [2 +1][2 – 1]= 20 + 19 + 18 + 17 + 16 +15 + …+ 4 + 3 + 2 + 1 = 210Bài 3. So sánh hai số sau, số nào lớn hơn?a] A = [2 + 1][22 + 1][24 + 1][28 + 1][216 + 1] và B = 232 b] A = 1989.1991 và B = 19902Lời Giảia] Ta nhân 2 vế của A với 2 – 1, ta được:A = [2 – 1][2 + 1][22 + 1][24 + 1][28 + 1][216 + 1]Ta áp dụng đẳng thức [ a- b][a + b] = a² – b² nhiều lần, ta được:A = 232 – 1.=> Vậy A < B.b] Ta đặt 1990 = x => B = x²Vậy A = [x – 1][x + 1] = x² – 1=> B > A là 1.Bài 4. Chứng minh rằng:a] a[a – 6] + 10 > 0.b] [x – 3][x – 5] + 4 > 0.c] a² + a + 1 > 0.Lời Giảia] VT = a² – 6a + 10 = [a – 3]² + 1 ≥ 1=> VT > 0b] VT = x² – 8x + 19 = [x – 4]² + 3 ≥ 3=> VT > 0c] a² + a + 1 = a + 2.a.ẵ + ẳ + ắ = [a + ẵ ] + ắ ¾ >0.Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:a] A = x² – 4x + 1b] B = 4x² + 4x + 11c] C = 3x² – 6x – 1Lời Giảia] Ta sẽ biến đổi A= x² – 4x + 1 = x² – 4x + 4 – 3 = [ x- 2]² – 3Do [ x- 2]² > 0 nên => [ x- 2]² – 3 ≥ -3Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A[Amin] = -3 khi và chỉ khi x = 2. b] B = 4x² + 4x + 11 = [2x + 1]² + 10Vậy Bmin = 10 khi và chỉ khi x = -½.c] C = 3x² – 6x – 1 = 3[x – 1]² – 4Vậy Cmin = -4 khi và chỉ khi x = 1.Bài 6. Cho a + b + c = 2p. Chứng minh rằng: 2bc + b² + c² – a² = 4p[p – a]Lời GiảiTa sẽ đi biến đổi VP.VP = 2p[2p – 2a] = [a + b + c][ a + b – c] = [ b + c ]² – a² = b² + 2bc + c² – a² = VT [đccm]Bài 7. Hiệu các bình phương của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp bằng 36. Tìm hai số ấy.Lời GiảiGọi 2 số chẵn liên tiếp là x và x + 2 [x chẵn]. Ta có:[x + 2]² – x² = 36

x² + 4x + 4 – x² = 36
4x = 32
x = 8
=> số thứ 2 là 8+2 = 10Đáp số: 8 và 10Bài 8. Tìm 3 số tự nhiên liên tiếp biết rằng tổng các tích của từng cặp 2 số trong 3 số ấy bằng 74Lời GiảiGọi 3 số tự nhiên liên tiếp là: x – 1, x, x + 1 [ đk: x>0]Vậy ta có: x[x – 1] + [x – 1][x + 1] + x[x + 1]= 74Ta nhân vào và rút gọn đi ta có:

x² = 25 x = -5 , x = 5So sánh với Đk: x>o => x = 5 [t/m].Vậy đáp số: 4, 5, 6.II/ Bài tập tự giảiBài 1. Chứng minh các hằng đẳng thức sau:a] [a² – b²]² + [2ab]² = [a² + b²]²b] [a² + b²][c² + d²] = [ac + bd]² + [ad – bc]² Bài 2. Cho a + b + c = 2p. Chứng minh rằng:[p – a]² + [p – b]² + [p – c]² = a² + b² + c² – p²Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:a] 5 – 8x – x²b] 4x – x² + 1Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức:a] x² – 10x + 26 với x = 105b] x² + 0,2x + 0,01 với x = 0,9Bài 5. Hiệu các bình phương của 2 số tự nhiên lẻ liên tiếp bằng 40. Tim 2 số ấy.Đ/S: 9 và 11.Bài 6. Tổng 3 số a, b, c bằng 9, Tổng các bình phương của chúng bằng 53. Tính ab + bc + ca.Đ/S: ab + bc + ca = 14.