Hàm số y = f[x] liên tục trên khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
1. Hàm số liên tục
Quảng cáo
Định nghĩa. Cho hàm số \[y = f[x]\] xác định trên khoảng \[K\] và \[x_0∈ K\] . Hàm số \[y = f[x]\] đươc gọi là liên tục tại \[x_0\] nếu \[\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim} f[x] = f[x_0]\].
+] Hàm số \[y = f[x]\] không liên tục tại \[x_0\] được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
+] Hàm số \[y = f[x]\] liên tục trên khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
+] Hàm số \[y = f[x]\] liên tục trên đoạn \[[a; b]\] nếu nó liên tục trên khoảng \[[a; b]\] và \[\underset{x\rightarrow a^{+}}{lim} f[x] = f[a]\]; \[\underset{x\rightarrow b^{-}}{lim} f[x]= f[b]\].
Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một "đường liền" trên khoảng đó.
2. Các định lí
Định lí 1.
- Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực \[\mathbb R\].
- Hàm số phân thức hữu tỉ [thương của hai đa thức] và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.
Định lí 2.
Giả sử \[y = f[x]\] và \[y = g[x]\] là hai hàm số liên tục tại điểm \[x_0\]. Khi đó:
- Các hàm số \[y = f[x] + g[x], y = f[x] - g[x]\] và \[y = f[x]. g[x]\] liên tục tại \[x\];
- Hàm số \[y = \dfrac{f[x]}{g[x]}\] liên tục tại \[x_0\] nếu \[g[x_0] ≠ 0\].
Định lí 3.
Nếu hàm số \[y = f[x]\] liên tục trên đoạn \[[a; b]\] và \[f[a].f[b]