Hướng dẫn giải bài tập và đáp án bài 4 trang 44 SGK giải tích lớp 12
Đề bài
Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:
Hướng dẫn giải
+] Khảo sát sự biến thiên của các hàm số y = f[x] lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số.
+] Số nghiệm của phương trình f[x] = a là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f[x] với đường thẳng y = a
+] Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.
Đáp án bài 4 trang 44 sgk giải tích lớp 12
- Xem thêm
» Bài tiếp theo: Bài 5 tr 44 sgk Toán 12
» Bài tham khảo: sgk Toán 12 - Bài 3 trang 43
Bạn còn vấn đề gì băn khoăn?
Vui lòng cung cấp thêm thông tin để chúng tôi giúp bạn
Giải bài 4 trang 44 SGK Giải tích 12
Bài 4 [trang 44 SGK Giải tích 12]: Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:
- x3 - 3x2 + 5 = 0 ;
- -2x3 + 3x2 - 2 = 0 ;
- 2x2 - x4 = -1
Bài giải:
- Xét y = f[x] = x3 - 3x2 + 5 [1]
- TXĐ: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
f'[x] = 3x2 - 6x = 3x[x - 2]
f'[x] = 0 ⇔ x = 0 ; x = 2
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
- Đồ thị:
Đồ thị hàm số y = f[x] cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất.
⇒ phương trình x3 - 3x2 + 5 = 0 chỉ có 1 nghiệm duy nhất.
- Xét hàm số y = f[x] = -2x3 + 3x2 – 2.
- TXĐ: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
y' = -6x2 + 6x = -6x[x - 1]
y' = 0 ⇔ x = 0 ; x = 1
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
- Đồ thị:
Đồ thị hàm số y = f[x] cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất
⇒ phương trình f[x] = 0 có nghiệm duy nhất.
Vậy phương trình -2x3 + 3x2 - 2 = 0 chỉ có một nghiệm.
- Xét hàm số y = f[x] = 2x2 - x4
- TXĐ: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
y' = 4x - 4x3 = 4x[1 - x2]
y' = 0 ⇔ x = 0 ; x = ±1
+ Giới hạn:
+ Bảng biến thiên:
- Đồ thị:
Đồ thị hàm số y = f[x] cắt đường thẳng y = -1 tại hai điểm
⇒ Phương trình f[x] = -2 có hai nghiệm phân biệt.
+] Khảo sát sự biến thiên của các hàm số \[y=f\left[ x \right]\] lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số.
+] Số nghiệm của phương trình \[f\left[ x \right]=a\] là số giao điểm của đồ thị hàm số \[y=f\left[ x \right]\] với đường thẳng \[y=a.\]
+] Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số: \[y={{x}{3}}-3{{x}{2}}+5\]
+] Tập xác định: \[D=R.\]
+] Sự biến thiên:
Ta có: \[y'=3{{x}{2}}-6x\Rightarrow y'=0\] \[\Leftrightarrow 3{{x}{2}}-6x=0\] \[\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=2 \\ \end{align} \right..\]
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left[- \infty ;0 \right]\] và \[\left[ 2;+\infty \right]\]; hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left[ 0;\ 2 \right].\]
Hàm số đạt cực đại tại \[x=0;\ \ {{y}_{CD}}=5.\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=2;\ \ {{y}_{CT}}=1.\]
+] Giới hạn: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \]
Bảng biến thiên:
+] Đồ thị hàm số:
Đồ thị hàm số cắt trục \[Oy\] tại điểm \[\left[ 0;\ 5 \right].\]
Số nghiệm của phương trình \[{{x}{3}}-3{{x}{2}}+5=0\] là số giao điểm của đồ thị hàm số \[y={{x}{3}}-3{{x}{2}}+5\] và trục hoành.
Từ đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại 1 điểm duy nhất.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
LG b
\[- 2{x^3} + 3{x^2}-2 = 0\] ;
Phương pháp giải:
Xét phương trình tương đương, sau đó:
+] Khảo sát sự biến thiên của các hàm số \[y=f\left[ x \right]\] lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số.
+] Số nghiệm của phương trình \[f\left[ x \right]=a\] là số giao điểm của đồ thị hàm số \[y=f\left[ x \right]\] với đường thẳng \[y=a.\]
+] Khi đó dựa vào đồ thị hàm số để xác định số giao điểm và kết luận.
Lời giải chi tiết:
\[-2{{x}{3}}+3{{x}{2}}-2=0.[*]\]
Ta có: [*] \[\Leftrightarrow 2{{x}{3}}-3{{x}{2}}=-2.\]
Xét hàm số: \[y=2{{x}{3}}-3{{x}{2}}.\]
Tập xác định: \[D=R.\]
Ta có: \[y'=6{{x}{2}}-6x\] \[\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 6{{x}{2}}-6x=0\] \[\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=1 \\ \end{align} \right..\]
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left[ -\infty ;\ 0 \right]\] và \[\left[ 1;+\infty \right];\] nghịch biến trên khoảng \[\left[ 0;\ 1 \right].\]
Hàm số đạt cực đại tại \[x=0;\ \ {{y}_{CD}}=0.\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=1;\ {{y}_{CT}}=-1.\]
Giới hạn: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \]
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Số nghiệm của phương trình \[-2{{x}{3}}+3{{x}{2}}-2=0\] là số giao điểm của đồ thị hàm số \[y=2{{x}{3}}-3{{x}{2}}\] và đường thẳng \[y=-2.\]
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \[y=-1\] cắt đồ thị hàm số \[y=2{{x}{2}}-{{x}{4}}\] tại hai điểm phân biệt.