Bài tập giải tích hàm – bài 66 trang 30 [Toán tử tuyến tính liên tục]
66. Xét C [0,1] là không gian các hàm liên tục với chuẩn sup. Chứng minh rằng ánh xạ
xác định như sau là tuyến tính liên tục và tính chuẩn của chúng
1.
2.
3.
Lời giải:
1. Dễ thấy A là tuyến tính và
Do đó A liên tục và . Chọn hàm thì
và .
Vậy
2. Từ
suy ra A liên tục và . Để chứng minh
ta chọn f[x]= 2x-1. Khi đó
Và
3. Dễ thấy A liên tục và . Mặt khác, với mỗi , chọn
Khi đó
và
Do đó