Bài 42 trang 12 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Rút gọn biểu thức với điều kiện đã cho của x rồi tính giá trị của nó:
Lời giải:
* Nếu x > 0 thì |x| = x
Ta có: 4x - √8 + |x| = 4x - √8 +x = 5x - √8
Với x = -√2 ta có: 5[-√2 ] - 8 = -5√2 - 2√2 = -7√2
* Nếu -2 < x < 0 thì |x| = -x
Ta có: 4x - √8 + |x| = 4x - √8 - x = 3x - √8
Với x = -√2 ta có: 3[-√2 ] - √8 = -3√2 - 2√2 = -5√2
Bài 43 trang 12 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tìm x thỏa mãn điều kiện:
Lời giải:
Bài 44 trang 12 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hai số a, b, không âm. Chứng minh:
[Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm]
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Lời giải:
Vì a ≥ 0 nên √a xác định, b ≥ 0 nên √b xác định
Ta có: [√a - √b ]2 ≥ 0 ⇔ a - 2√ab + b ≥ 0
⇒ a + b ≥ 2√ab ⇔
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b.
Bài 45 trang 12 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Với a ≥ 0 và b ≥ 0, chứng minh
[Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm]
Lời giải:
Vì a ≥ 0 nên √a xác định, b ≥ 0 nên √b xác định
Ta có: [√a - √b ]2 ≥ 0 ⇒ a - 2√ab + b ≥ 0 ⇒ a + b ≥ 2√ab
⇒ a + b + a + b ≥ a + b + 2√ab
⇒ 2[a + b] ≥ [√a ]2 + 2√ab + [√b ]2
[Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm]
Bài 46 trang 12 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Với a dương, chứng minh a + 1/a ≥ 2
Lời giải:
[Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm]
\[\sqrt {{{2x - 3} \over {x - 1}}} = 2\]
- \[{{\sqrt {2x - 3} } \over {\sqrt {x - 1} }} = 2\]
- \[\sqrt {{{4x + 3} \over {x + 1}}} = 3\]
- \[{{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }} = 3.\]
Gợi ý làm bài
- Ta có:
\[\sqrt {{{2x - 3} \over {x - 1}}} \] xác định khi và chỉ khi \[{{2x - 3} \over {x - 1}} \ge 0\]
Trường hợp 1:
\[\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 2x - 3 \ge 0 \hfill \cr x - 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2x \ge 3 \hfill \cr x > 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge 1,5 \hfill \cr x > 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 1,5 \cr} \]
Trường hợp 2:
\[\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 2x - 3 \le 0 \hfill \cr x - 1 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2x \le 3 \hfill \cr x < 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \le 1,5 \hfill \cr x < 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x < 1 \cr} \]
Với x ≥ 1,5 hoặc x < 1 ta có:
\[\eqalign{ & \sqrt {{{2x - 3} \over {x - 1}}} = 2 \Leftrightarrow {{2x - 3} \over {x - 1}} = 4 \cr & \Leftrightarrow 2x - 3 = 4[x - 1] \cr} \]
\[\eqalign{ & \Leftrightarrow 2x - 3 = 4x - 4 \cr & \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = 0,5 \cr} \]
Giá trị x = 0,5 thỏa mãn điều kiện x < 1.
- Ta có: \[{{\sqrt {2x - 3} } \over {\sqrt {x - 1} }}\] xác định khi và chỉ khi:
\[\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 2x - 3 \ge 0 \hfill \cr x - 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2x \ge 3 \hfill \cr x > 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge 1,5 \hfill \cr x > 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 1,5 \cr} \]
Với x ≥ 1,5 ta có:
\[\eqalign{ & {{\sqrt {2x - 3} } \over {\sqrt {x - 1} }} = 2 \Leftrightarrow {{2x - 3} \over {x - 1}} = 4 \cr & \Leftrightarrow 2x - 3 = 4[x - 1] \cr} \]
\[\eqalign{ & \Leftrightarrow 2x - 3 = 4x - 4 \cr & \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = 0,5 \cr} \]
Giá trị x = 0,5 không thỏa mãn điều kiện.
Vậy không có giá trị nào của x để \[{{\sqrt {2x - 3} } \over {\sqrt {x - 1} }} = 2\]
- Ta có: \[\sqrt {{{4x + 3} \over {x + 1}}} \] xác định khi và chỉ khi \[{{4x + 3} \over {x + 1}} \ge 0\]
Trường hợp 1:
\[\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 4x + 3 \ge 0 \hfill \cr x + 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 4x \ge - 3 \hfill \cr x > - 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 0,75 \hfill \cr x > - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge - 0,75 \cr} \]
Trường hợp 2:
\[\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 4x + 3 \le 0 \hfill \cr x + 1 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 4x \le - 3 \hfill \cr x < - 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 0,75 \hfill \cr x < - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x < - 1 \cr} \]
Với x ≥ -0,75 hoặc x < -1 ta có:
\[\eqalign{ & \sqrt {{{4x + 3} \over {x + 1}}} = 3 \Leftrightarrow {{4x + 3} \over {x + 1}} = 9 \cr & \Leftrightarrow 4x + 3 = 9[x + 1] \cr} \]
\[\eqalign{ & \Leftrightarrow 4x + 3 = 9x + 9 \cr & \Leftrightarrow 5x = - 6 \Leftrightarrow x = - 1,2 \cr} \]
Giá trị x = -1,2 thỏa mãn điều kiện x < -1.
- Ta có : \[{{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }}\] xác định khi và chỉ khi:
\[\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 4x + 3 \ge 0 \hfill \cr x + 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 4x \ge - 3 \hfill \cr x > - 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 0,75 \hfill \cr x > - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge - 0,75 \cr} \]
Với x ≥ -0,75 ta có:
\[\eqalign{ & {{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }} = 3 \Leftrightarrow {{4x + 3} \over {x + 1}} = 9 \cr & \Leftrightarrow 4x + 3 = 9[x + 1] \cr} \]
\[\eqalign{ & \Leftrightarrow 4x + 3 = 9x + 9 \cr & \Leftrightarrow 5x = - 6 \Leftrightarrow x = - 1,2 \cr} \]
Vậy không có giá trị nào của x để \[{{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }} = 3.\]
Câu 44 trang 12 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho hai số a, b không âm. Chứng minh:
\[{{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \]
[Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm].
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Gợi ý làm bài
Vì a ≥ 0 nên \[\sqrt a \] xác định, b ≥ 0 nên \[\sqrt b \] xác định
Ta có:
\[\eqalign{ & {\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]^2} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0 \cr} \]
\[ \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \]
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b.
Câu 45 trang 12 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Với a ≥ 0, b ≥ 0, chứng minh
\[\sqrt {{{a + b} \over 2}} \ge {{\sqrt a + \sqrt b } \over 2}\]
Gợi ý làm bài
Vì a ≥ 0 nên \[\sqrt a \] xác định, b ≥ 0 nên \[\sqrt b \] xác định
Ta có:
\[\eqalign{ & {\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]^2} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0 \ge a + b \ge 2\sqrt {ab} \cr} \]
\[ \Leftrightarrow a + b + a + b \ge a + b + 2\sqrt {ab} \]
\[ \Leftrightarrow 2[a + b] \ge {\left[ {\sqrt a } \right]^2} + 2\sqrt {ab} + {\left[ {\sqrt b } \right]^2}\]