Acgumen số phức là gì

Số phức là gì? Ứng dụng của số phức như nào? Kiến thức về các phép toán số phức? Thế nào là số phức nghịch đảo, số phức liên hợp?… Trong nội dung bài viết dưới đây, acthan.vn sẽ giúp bạn tìm hiểu chi tiết về chủ đề số phức, cùng tìm hiểu nhé!.

Bạn đang xem: Acgumen của số phức là gì

Tìm hiểu về số phức là gì?

Định nghĩa số phức là gì?

Số phức là biểu thức dạng a + bi trong đó a, b là số thực và [i^{2}= -1]Đối với số phức z = a + bi thì ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z, i là đơn vị ảo.Tập hợp các số phức kí hiệu là C.

Nhận xét về số phức

Mỗi số thực a đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.

Xem thêm: Hướng Dẫn Cách Chỉnh Chiến Thuật Trong Fo3, Cách Chỉnh Chiến Thuật Trong Fo3, 403 Forbidden

Hai số phức bằng nhau

Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng bằng nhau.Số phức z = a + bi và z’ = c + di bằng nhau Leftrightarrow a = c và b = dVí dụ: tìm các số thực x, y biết [2x + 1] + 3yi = [x + 2] + [y + 2]iLời giải: Vì hai số phức bằng nhau nên [left{begin{matrix} 2x + 1 = x + 2 & \ 3y = y + 2 & end{matrix}right.]Suy ra x = 1, y = 1

Mô đun của số phức

Khái niệm module của số phức là gì?

Giả sử M[a;b] là điểm biểu diễn số phức z = a + bi trên mặt phẳng tọa độ.Độ dài của [vec{OM}] chính là mô đun của số phức z. Kí hiệu là |z|.Ta có: |z|=[|vec{OM}|] = |a+bi|=[sqrt{a^{2}+b^{2}}]

Số phức liên hợp là gì?

Cho số phức z = a + bi, ta gọi a – bi là số phức liên hợp của z và kí hiệu là [bar{z}=a-bi]Ví dụ: z = 1 + 2i thì [bar{z}=1 – 2i]

Một số tính chất của số phức liên hợp:

 là một số thực. =

 =

Biểu diễn hình học của số phức

Mỗi số phức z = a + bi được xác định được bởi cặp số thực [a; b]Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M[a,b] được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo.

Các phép toán với số phức

Cộng trừ số phức

Số đối của số phức z = a + bi là -z = -a – biPhép cộng và trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng trừ đa thứcCho z = a + bi và z’ = c + di. Tổng quát: z + z’ = [a + bi] + [c + di] = [a + c] + [b + d]i z – z’ = [a + bi] – [c + di] = [a – c] + [b – d]iVí dụ: [5 + 2i] + [6 + i] = [5 + 6] + [2 + 1]i = 11 + 3i [5 + 2i] – [6 + i] = [5 – 6] + [2 – 1]i = -1 + i

Phép nhân số phức

Phép nhân số phức có tính chất như phép nhân số thựcTổng quát: [a + bi][c + di] = [ac – bd] + [ad + bc]iVí dụ : [2 – 3i][6 + 4i] = 12 + 8i – 18i – [12i^{2}] = 12 + 18i – 8i + 12 = 24 – 10i

Phép chia số phức

Số nghịch đảo của số phức [z = a + bi neq 0] là [z^{-1} = frac{1}{z} = frac{bar{z}}{left | z right |^{2}}]Hay [frac{1}{a + bi} = frac{a – bi}{a^{2} + b^{2}}]Cho hai số phức [z = a + bi neq 0] và [z’ = a’ + b’i] Thì [frac{z}{z’} = frac{z’bar{z}}{left | z right |^{2}}]hay [frac{a’ + b’i}{a + bi} = frac{[a’ + b’i][a – bi]}{a^{2} + b^{2}}]

Ví dụ: Tìm [z=frac{4+2i}{1+i}]Giải: Ta có z[1 + i] = 4 + 2i.Nhân cả hai vế của phương trình trên với liên hợp của 1 + i là 1 – i ta được:[1 + i][1 – i]z = [1 – i][4 + 2i]=> 2z = 6 – 2i=> z = 3 – iVậy: [3-i=frac{4+2i}{1+i}]

Dạng lượng giác của số phức

Trong mặt phẳng phức cho số phức z với [zneq 0] được biểu diễn bởi vector [vec{OM}] với M[a;b]. Góc lượng giác [[vec{Ox},vec{OM}] = varphi + 2kpi , kepsilon mathbb{Z}]Số đo của mỗi góc lượng giác trên được gọi là một acgumen của z.Gọi [varphi] là một acgumen và r > 0 là mô đun của số phức z = a + bi khác 0 dạng lượng giác của z là:[z=r[acosvarphi +isinvarphi ]]Với [r=sqrt{a^2+b^2}]và [varphi] định bởi [cosvarphi =frac{a}{r}] và [sinvarphi =frac{b}{r}]Ghi chú:

|z| = 1 [Leftrightarrow] [z=[cosvarphi +isinvarphi ]], [varphi in R]z = 0 thì |z| = r = 0 nhưng acgumen của z không xác định xem như tùy ý.

Nhân chia số phức ở dạng lượng giác:Cho [z=r[cosvarphi +isinvarphi ]], [z’=r’[cosvarphi’ +isinvarphi’]] [r >0, r’ >0][z.z’=r.r’[cos[varphi+varphi’] +isin[varphi+varphi’] ]][frac{z}{z’}=frac{r}{r’}] khi r > 0

Ứng dụng của số phức là gì?

Sử dụng số phức vào giải hệ phương trìnhXét hệ phương trình [left{begin{matrix} f[x;y] = g[x;y] [1] & \ h[x;y] = k[x;y] [2] & end{matrix}right.]Lấy [2] nhân i sau đó cộng/trừ [1] vế theo vế ta được:f[x;y] + h[x;y]i = g[x;y] + k[x;y]i [*]Đặt z = x + yi, biểu diễn [*] thông qua các đại lượng z, mô đun z…

Ví dụ: Giải hệ phương trình: [left{begin{matrix} x + frac{3x – y}{x^{2}+y^{2}} = 3 [1] & \ y = frac{x + 3y}{x^{2} + y^{2}} [2]& end{matrix}right.]Giải: Lấy [2] nhân i sau đó cộng với [1] ta được:[x + yi + frac{[3x-y]-[x + 3y]i}{x^{2} + y^{2}} = 3][Leftrightarrow x + yi+ frac{3[x – yi]}{x^{2} + y^{2}} – frac{[x-yi]i}{x^{2} + y^{2}} = 3 [*]]Đặt z = x + yi với x, y [epsilon mathbb{R}].[Rightarrow [*] Leftrightarrow z + frac{[3 – i]bar{z}}{left | z right |^{2}} = 3 Leftrightarrow z + frac{[3 – i]}{z} = 3][Leftrightarrow] z = 2 + i hoặc z = 1 – i[x + yi = 2 + i Leftrightarrow left{begin{matrix} x = 2 & \ y = 1 & end{matrix}right.][x + yi = 1 – i Leftrightarrow left{begin{matrix} x = 1 & \ y = -1 & end{matrix}right.]Vậy, nghiệm của hệ phương trình là: [x;y] = [2;1], [x;y] = [1,-1]

Trên đây là bài tổng hợp kiến thức về số phức là gì cũng như những nội dung liên quan. Nếu có băn khoăn, thắc mắc hay góp ý xây dựng về chủ đề bài viết số phức là gì, các bạn để lại bình luận bên dưới nha. Cảm ơn các bạn, đừng quên chia sẻ nếu thấy hay nhé >> Số phức nghịch đảo là gì? Cách giải bài tập số phức nghịch đảo

Bài viết hướng dẫn tìm môđun và acgumen của một số phức bất kỳ, đây là một dạng toán căn bản trong chương trình Giải tích 12 chương 4 mà học...

Bài viết hướng dẫn tìm môđun và acgumen của một số phức bất kỳ, đây là một dạng toán căn bản trong chương trình Giải tích 12 chương 4 mà học sinh cần nắm vững, ngoài ra bài viết còn cung cấp một số ví dụ nâng cao và mở rộng của dạng toán này. Kiến thức và các ví dụ trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu số phức trên TOANMATH.com.

Phương pháp: Nhìn chung các bài tập này có cách giải như sau: Giả sử ta cần tìm một acgumen của số phức $z$. Ta cần biến đổi sao cho $z$ có dạng $z = r\left[ {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right].$ 1. Với $z = a + bi, [a,b \in R]$ ta có mô đun của $z$ là $r = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$, và $1$ acgumen của $z$ là $\varphi $ thỏa  $c{\rm{os}}\varphi = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$; $\sin \varphi = \frac{{{b^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$ 2. Với $z = r[c{\rm{os}}\varphi + i\sin \varphi ]$ thì $z$ có mô đun là $r$ và $1$ acgumen của $z$ là $\varphi.$ 3. Với $z = r[\cos \varphi – i \sin \varphi ]$ $ = r\left[ {c{\rm{os}}[ – \varphi ] + i \sin [ – \varphi ]} \right].$

4. Với $z = r[\sin \varphi + i c{\rm{os}}\varphi ]$ $ = r\left[ {c{\rm{os}}[\frac{\pi }{2} – \varphi ] + i \sin [\frac{\pi }{2} – \varphi ]} \right].$

Các ví dụ điển hình thường gặp:
Ví dụ 1. Cho số phức $z = 1 – \sin \varphi + i\cos \varphi ,$ $0 < \varphi < \frac{\pi }{2}.$ Tìm một acgumen của số phức $z$.

$z = 1 – \sin \varphi + i\cos \varphi $ $ = 1 – \cos \left[ {\frac{\pi }{2} – \varphi } \right] + i\sin \left[ {\frac{\pi }{2} – \varphi } \right]$ $ = 2{\sin ^2}\left[ {\frac{\pi }{4} – \frac{\varphi }{2}} \right]$ $ + 2i\sin \left[ {\frac{\pi }{4} – \frac{\varphi }{2}} \right]\cos \left[ {\frac{\pi }{4} – \frac{\varphi }{2}} \right]$ $ = 2\sin \left[ {\frac{\pi }{4} – \frac{\varphi }{2}} \right]$ $\left[ {\sin \left[ {\frac{\pi }{4} – \frac{\varphi }{2}} \right] + i\cos \left[ {\frac{\pi }{4} – \frac{\varphi }{2}} \right]} \right]$ $ = 2\sin \left[ {\frac{\pi }{4} – \frac{\varphi }{2}} \right]$ $\left[ {\cos \left[ {\frac{\pi }{4} + \frac{\varphi }{2}} \right] + i\sin \left[ {\frac{\pi }{4} + \frac{\varphi }{2}} \right]} \right].$

Do $0 < \varphi < \frac{\pi }{2}$ nên $2\sin \left[ {\frac{\pi }{4} – \frac{\varphi }{2}} \right] > 0.$ Vậy, một acgumen của $z$ là $\frac{\pi }{4} + \frac{\varphi }{2}.$

Ví dụ 2. Cho số phức $z$ có mô đun bằng $1$ và $\varphi $ là một acgumen của $z.$
a. Tìm một acgumen của $\frac{{\overline z }}{z}.$
b. Tìm một acgumen của $\overline z + z$ nếu $\cos \varphi \ne 0.$

Từ giả thiết suy ra $z = \cos \varphi + isin\varphi .$ a. Ta có $\frac{{\overline z }}{z} = \frac{{\cos \varphi – i\sin \varphi }}{{\cos \varphi + i\sin \varphi }}$ $ = \frac{{\cos \left[ { – \varphi } \right] + i\sin \left[ { – \varphi } \right]}}{{\cos \varphi + i\sin \varphi }}$ $ = \cos \left[ { – 2\varphi } \right] + i\sin \left[ { – 2\varphi } \right].$ Vậy một acgumen của $z$ là $ – 2\varphi .$ b. Ta có: $\overline z + z = 2\cos \varphi .$ + Nếu $\cos \varphi > 0$ thì $\overline z + z = 2\cos \varphi $ $ = 2\cos \varphi \left[ {\cos 0 + i\sin 0} \right].$ Lúc đó $0$ là một acgumen của $\overline z + z.$

+ Nếu $\cos \varphi < 0$ thì $\overline z + z = – 2\cos \varphi .[ – 1]$ $ = – 2\cos \varphi \left[ {\cos \pi + i\sin \pi } \right].$ Lúc đó $\pi $ là một acgumen của $\overline z + z.$

Ví dụ 3. Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau: a. $z = 1 + \cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}.$ b. $z = 1 + \cos \frac{\pi }{3} – i\sin \frac{\pi }{3}.$ c. $z = 1 – \cos \frac{{2\pi }}{5} + i\sin \frac{{2\pi }}{5}.$ d. $z = – 1 – \sin \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{6}.$

e. $z = – 1 + \sin \frac{\pi }{6} – i\sin \frac{\pi }{6}.$

a. $z = 1 + \cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}$ $ = 2{\cos ^2}\frac{\pi }{8} + 2i\sin \frac{\pi }{8}\cos \frac{\pi }{8}.$ Vậy $\left\{ \begin{array}{l} r = 2\cos \frac{\pi }{8}\\ \varphi = \frac{\pi }{8} \end{array} \right.$ b. $z = 1 + \cos \frac{\pi }{3} – i\sin \frac{\pi }{3}$ $ = 2{\cos ^2}\frac{\pi }{6} + 2i\sin \frac{\pi }{6}.\cos \frac{\pi }{6}$ $ = 2\cos \frac{\pi }{6}\left[ {\cos \frac{\pi }{6} – i\sin \frac{\pi }{6}} \right]$ $ = 2\cos \frac{\pi }{6}\left[ {\cos \left[ { – \frac{\pi }{6}} \right] + i\sin \left[ { – \frac{\pi }{6}} \right]} \right].$ Vậy $\left\{ \begin{array}{l} r = 2\cos \frac{\pi }{6} = \sqrt 3 \\ \varphi = – \frac{\pi }{6} \end{array} \right.$ c. $z = 1 – \cos \frac{{2\pi }}{5} + i\sin \frac{{2\pi }}{5}$ $ = 2{\sin ^2}\frac{\pi }{5} + 2i\sin \frac{\pi }{5}.\cos \frac{\pi }{5}$ $ = 2\sin \frac{\pi }{5}\left[ {\sin \frac{\pi }{5} + i\cos \frac{\pi }{5}} \right]$ $ = 2\sin \frac{\pi }{5}\left[ {\cos \frac{{3\pi }}{{10}} + i\sin \frac{{3\pi }}{{10}}} \right].$ Vậy $\left\{ \begin{array}{l} r = 2\sin \frac{\pi }{5}\\ \varphi = \frac{{3\pi }}{{10}} \end{array} \right.$ d. $z = – 1 – \sin \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{6}$ $ = – 1 – \cos \frac{\pi }{6} + 2i\sin \frac{\pi }{6}$ $ = – 2{\cos ^2}\frac{\pi }{{12}} + 2i\sin \frac{\pi }{{12}}\cos \frac{\pi }{{12}}$ $ = 2\cos \frac{\pi }{{12}}\left[ { – \cos \frac{\pi }{{12}} + i\sin \frac{\pi }{{12}}} \right]$ $ = 2\cos \frac{\pi }{{12}}\left[ {\cos \frac{{11\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{11\pi }}{{12}}} \right].$ Vậy $\left\{ \begin{array}{l} r = 2\cos \frac{\pi }{{12}}\\ \varphi = \frac{{11\pi }}{{12}} \end{array} \right.$ e. $z = – 1 + \sin \frac{\pi }{6} – i\sin \frac{\pi }{6}$ $ = – 1 + \cos \frac{\pi }{3} – i\sin \frac{\pi }{3}$ $ = – 2{\sin ^2}\frac{\pi }{6} – 2i\sin \frac{\pi }{6}.\cos \frac{\pi }{6}$ $ = 2\sin \frac{\pi }{6}\left[ { – \sin \frac{\pi }{6} – i\cos \frac{\pi }{6}} \right]$ $ = 2.\frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{{7\pi }}{6} + i\cos \frac{{7\pi }}{6}} \right]$ $ = \cos \left[ { – \frac{{2\pi }}{3}} \right] + i\sin \left[ { – \frac{{2\pi }}{3}} \right].$ Vậy $\left\{ \begin{array}{l} r = 1\\ \varphi = – \frac{{2\pi }}{3}

\end{array} \right.$

Ví dụ 4.  Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau: a. $z = 1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} – \frac{1}{{\sqrt 2 }}i.$ b. $z = 2 – \sqrt 2 – i\sqrt 2 .$ c. $z = 2\sqrt 3 + 3 + i\sqrt 3.$

d. $z = \frac{{\sqrt 3 }}{3} – \frac{2}{3} + \frac{1}{3}i.$

Ta kí hiệu $r$ và $\varphi $ lần lượt là môđun và acgumen của số phức $z$, ta có: a. $z = 1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} – \frac{1}{{\sqrt 2 }}i$ $ = 1 + \cos \frac{\pi }{4} – i\sin \frac{\pi }{4}$ $ = 2{\cos ^2}\frac{\pi }{8} – 2i\sin \frac{\pi }{8}.\cos \frac{\pi }{8}$ $ = 2\cos \frac{\pi }{8}\left[ {\cos \frac{\pi }{8} – i\sin \frac{\pi }{8}} \right]$ $ = 2\cos \frac{\pi }{8}\left[ {\cos \left[ { – \frac{\pi }{8}} \right] + i\sin \left[ { – \frac{\pi }{8}} \right]} \right].$ Vậy $\left\{ \begin{array}{l} r = 2\cos \frac{\pi }{8}\\ \varphi = – \frac{\pi }{8} \end{array} \right.$ b. $z = 2 – \sqrt 2 – i\sqrt 2 $ $ = 2\left[ {1 – \frac{{\sqrt 2 }}{2} – \frac{{i\sqrt 2 }}{2}} \right]$ $ = 2\left[ {1 – \cos \frac{\pi }{4} – i\sin \frac{\pi }{4}} \right]$ $ = 2\left[ {2{{\sin }^2}\frac{\pi }{8} – 2i\sin \frac{\pi }{8}.\cos \frac{\pi }{8}} \right]$ $ = 4\sin \frac{\pi }{8}\left[ {\sin \frac{\pi }{8} – i\cos \frac{\pi }{8}} \right]$ $ = 4\sin \frac{\pi }{8}\left[ {\cos \frac{{3\pi }}{8} – i\sin \frac{{3\pi }}{8}} \right]$ $ = 4\sin \frac{\pi }{8}\left[ {\cos \left[ { – \frac{{3\pi }}{8}} \right] + i\sin \left[ { – \frac{{3\pi }}{8}} \right]} \right].$ Vậy $\left\{ \begin{array}{l} r = 4\sin \frac{\pi }{8}\\ \varphi = – \frac{{3\pi }}{8} \end{array} \right.$ c. $z = 2\sqrt 3 + 3 + i\sqrt 3 $ $ = 2\sqrt 3 \left[ {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right]$ $ = 2\sqrt 3 \left[ {1 + \cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}} \right]$ $ = 2\sqrt 3 \left[ {2{{\cos }^2}\frac{\pi }{{12}} + 2i\sin \frac{\pi }{{12}}.\cos \frac{\pi }{{12}}} \right]$ $ = 4\sqrt 3 \cos \frac{\pi }{{12}}\left[ {\cos \frac{\pi }{{12}} + i\sin \frac{\pi }{{12}}} \right].$ Vậy $\left\{ \begin{array}{l} r = 4\sqrt 3 \cos \frac{\pi }{{12}}\\ \varphi = \frac{\pi }{{12}} \end{array} \right.$ d. $z = \frac{{\sqrt 3 }}{3} – \frac{2}{3} + \frac{1}{3}i$ $ = – \frac{2}{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \frac{1}{3}i$ $ = \frac{2}{3}\left[ { – 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right]$ $ = \frac{2}{3}\left[ { – 2{{\sin }^2}\frac{\pi }{{12}} + 2i\sin \frac{\pi }{{12}}.\cos \frac{\pi }{{12}}} \right]$ $ = \frac{4}{3}\sin \frac{\pi }{{12}}\left[ { – \sin \frac{\pi }{{12}} + i\cos \frac{\pi }{{12}}} \right]$ $ = \frac{4}{3}\sin \frac{\pi }{{12}}\left[ {\sin \left[ { – \frac{\pi }{{12}}} \right] + i\cos \left[ { – \frac{\pi }{{12}}} \right]} \right]$ $ = \frac{4}{3}\sin \frac{\pi }{{12}}\left[ {\cos \frac{{7\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{7\pi }}{{12}}} \right].$ Vậy $\left\{ \begin{array}{l} r = \frac{4}{3}\sin \frac{\pi }{{12}}\\ \phi = \frac{{7\pi }}{{12}}

\end{array} \right.$

Ví dụ 5.  Gọi ${z_1}, {z_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${z^2} – 2iz – 4 = 0$, ${z_1}$ có phần thực âm. Tính môđun và acgumen của các số phức sau: a. $w = z_1^2.{z_2}.$ b. $w = \frac{{{z_1}}}{{{z_2} – 2}}.$ c. $w = \left[ {{z_1} – 2} \right]\left[ {{z_2} – 2} \right].$

d. $w = \overline {{z_1}.} \left[ {2 – \overline {{z_2}} } \right].$

Ta gọi $r$ và $\varphi $ lần lượt là môđun và acgumen của số phức $w.$ Giải phương trình: ${z^2} – 2iz – 4 = 0$ ta được  $2$ nghiệm là: ${z_1} = – \sqrt 3 + i = 2\left[ { – \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right]$ $ = 2\left[ {\cos \frac{{5\pi }}{6} + i\sin \frac{{5\pi }}{6}} \right]$ [vì ${z_1}$ có phần thực âm]. ${z_2} = \sqrt 3 + i = 2\left[ {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right]$ $ = 2\left[ {\cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}} \right].$ a. Ta có: $z_1^2 = 4\left[ {\cos \frac{{5\pi }}{3} + i\sin \frac{{5\pi }}{3}} \right]$, ${z_2} = 2\left[ {\cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}} \right].$ Suy ra: $w = z_1^2.{z_2}$ $ = 4.2.\left[ {\cos \left[ {\frac{{5\pi }}{3} + \frac{\pi }{6}} \right] + i\sin \left[ {\frac{{5\pi }}{3} + \frac{\pi }{6}} \right]} \right]$ $ = 8\left[ {\cos \frac{{11\pi }}{6} + i\sin \frac{{11\pi }}{6}} \right].$ Vậy $w$ có môđun và một acgumen là: $\left\{ \begin{array}{l} r = 8\\ \varphi = \frac{{11\pi }}{6} \end{array} \right.$ b. Ta có ${z_2} – 2 = \sqrt 3 + i – 2$ $ = 2\left[ { – 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right]$ $ = 2\left[ { – 1 + \cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}} \right]$ $ = 2\left[ { – 2{{\sin }^2}\frac{\pi }{{12}} + 2i\sin \frac{\pi }{{12}}.\cos \frac{\pi }{{12}}} \right]$ $ = 4\sin \frac{\pi }{{12}}\left[ { – \sin \frac{\pi }{{12}} + i\cos \frac{\pi }{{12}}} \right]$ $ = 4\sin \frac{\pi }{{12}}\left[ {\sin \left[ { – \frac{\pi }{{12}}} \right] + i\sin \left[ { – \frac{\pi }{{12}}} \right]} \right]$ $ = 4\sin \frac{\pi }{{12}}\left[ {\cos \frac{{7\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{7\pi }}{{12}}} \right].$ Suy ra: $w = \frac{{{z_1}}}{{{z_2} – 2}}$ $ = \frac{{2\left[ {\cos \frac{{5\pi }}{6} + i\sin \frac{{5\pi }}{6}} \right]}}{{4\sin \frac{\pi }{{12}}\left[ {\cos \frac{{7\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{7\pi }}{{12}}} \right]}}$ $ = \frac{1}{{2\sin \frac{\pi }{{12}}}}$$\left[ {\cos \left[ {\frac{{5\pi }}{6} – \frac{{7\pi }}{{12}}} \right] + i\sin \left[ {\frac{{5\pi }}{6} – \frac{{7\pi }}{{12}}} \right]} \right]$ $ = \frac{1}{{2\sin \frac{\pi }{{12}}}}\left[ {\cos \frac{{3\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{3\pi }}{{12}}} \right]$ $ = \frac{1}{{2\sin \frac{\pi }{{12}}}}\left[ {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right].$ Vậy $w = \frac{{{z_1}}}{{{z_2} – 2}}$ có môđun và acgumen là $\left\{ \begin{array}{l} r = \frac{1}{{2\sin \frac{\pi }{{12}}}}\\ \varphi = \frac{\pi }{4} \end{array} \right.$ c. Ta có ${z_2} – 2$ $ = 4\sin \frac{\pi }{{12}}\left[ {\cos \frac{{7\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{7\pi }}{{12}}} \right]$ [theo câu b] và: ${z_1} – 2 = – \sqrt 3 + i – 2$ $ = 2\left[ { – 1 – \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right]$ $ = 2\left[ { – 1 – \cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}} \right]$ $ = 2\left[ { – 2{{\cos }^2}\frac{\pi }{{12}} + 2i\sin \frac{\pi }{{12}}.\cos \frac{\pi }{{12}}} \right]$ $ = 4\cos \frac{\pi }{{12}}\left[ { – \cos \frac{\pi }{{12}} + i\sin \frac{\pi }{{12}}} \right]$ $ = 4\cos \frac{\pi }{{12}}\left[ {\cos \frac{{11\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{11\pi }}{{12}}} \right].$ Suy ra: $w = \left[ {{z_1} – 2} \right]\left[ {{z_2} – 2} \right]$ $ = 4\cos \frac{\pi }{{12}}\left[ {\cos \frac{{11\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{11\pi }}{{12}}} \right]$.$4\sin \frac{\pi }{{12}}\left[ {\cos \frac{{7\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{7\pi }}{{12}}} \right]$ $ = 16.\sin \frac{\pi }{{12}}.\cos \frac{\pi }{{12}}$$\left[ {\cos \left[ {\frac{{11\pi }}{{12}} + \frac{{7\pi }}{{12}}} \right] + i\sin \left[ {\frac{{11\pi }}{{12}} + \frac{{7\pi }}{{12}}} \right]} \right]$ $ = 8.\sin \frac{\pi }{6}.\left[ {\cos \frac{{18\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{18\pi }}{{12}}} \right]$ $ = 8\sin \frac{\pi }{6}\left[ {\cos \frac{{3\pi }}{2} + i\sin \frac{{3\pi }}{2}} \right]$ $ = 4\cos \frac{\pi }{{12}}\left[ {\cos \frac{{3\pi }}{2} + i\sin \frac{{3\pi }}{2}} \right].$ Vậy $w = \left[ {{z_1} – 2} \right]\left[ {{z_2} – 2} \right]$ có môđun và một acgumen là: $\left\{ \begin{array}{l} r = 4\\ \varphi = \frac{{3\pi }}{2} \end{array} \right.$

Cách khác: Trong trường hợp này, ta có thể áp dụng công thức Vi-et:

${z_1} + {z_2} = 2i, {z_1}{z_2} = – 4.$ Ta có: $w = \left[ {{z_1} – 2} \right]\left[ {{z_2} – 2} \right]$ $ = {z_1}.{z_2} – 2\left[ {{z_1} + {z_2}} \right] + 4$ $ = – 4 – 2.2i + 4 = – 4i$ $ = 4\left[ {0 – i} \right]$ $ = 4\left[ {\cos \frac{{3\pi }}{2} + i\sin \frac{{3\pi }}{2}} \right].$ d. $w = \overline {{z_1}} .\left[ {2 – \overline {{z_2}} } \right]$ $ \Rightarrow \overline w = \overline {\overline {{z_1}} .\left[ {2 – \overline {{z_2}} } \right]} $ $ = {z_1}.\left[ {2 – {z_2}} \right] = – {z_1}.\left[ {{z_2} – 2} \right]$ Với $ – {z_1} = – 2\left[ {\cos \frac{{5\pi }}{6} + i\sin \frac{{5\pi }}{6}} \right]$ $ = 2\left[ { – \cos \frac{{5\pi }}{6} – i\sin \frac{{5\pi }}{6}} \right]$ $ = 2\left[ {\cos \left[ {\frac{{5\pi }}{6} – \pi } \right] + i\sin \left[ {\frac{{5\pi }}{6} – \pi } \right]} \right]$ $ = 2\left[ {\cos \left[ { – \frac{\pi }{6}} \right] + i\sin \left[ { – \frac{\pi }{6}} \right]} \right]$ và ${z_2} – 2$ $ = 4\sin \frac{\pi }{{12}}\left[ {\cos \frac{{7\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{7\pi }}{{12}}} \right].$ Suy ra: $\overline w = – {z_1}.\left[ {{z_2} – 2} \right]$ $ = 2\left[ {\cos \left[ { – \frac{\pi }{6}} \right] + i\sin \left[ { – \frac{\pi }{6}} \right]} \right]$.$4\sin \frac{\pi }{{12}}\left[ {\cos \frac{{7\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{7\pi }}{{12}}} \right]$ $ = 8\sin \frac{\pi }{{12}}$.$\left[ {\cos \left[ { – \frac{\pi }{6} + \frac{{7\pi }}{{12}}} \right] + i\sin \left[ { – \frac{\pi }{6} + \frac{{7\pi }}{{12}}} \right]} \right]$ $ = 8\sin \frac{\pi }{{12}}.\left[ {\cos \frac{{5\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{5\pi }}{{12}}} \right]$ $ \Rightarrow w = 8\sin \frac{\pi }{{12}}$.$\left[ {\cos \frac{{5\pi }}{{12}} – i\sin \frac{{5\pi }}{{12}}} \right]$ $ = 8\sin \frac{\pi }{{12}}$.$\left[ {\cos \left[ { – \frac{{5\pi }}{{12}}} \right] + i\sin \left[ { – \frac{{5\pi }}{{12}}} \right]} \right].$ Vậy $w = \overline {{z_1}} .\left[ {2 – \overline {{z_2}} } \right]$ có môđun và acgumen là: $\left\{ \begin{array}{l} r = 8\sin \frac{\pi }{{12}}\\ \varphi = – \frac{{5\pi }}{{12}} \end{array} \right.$ [ads]

Ví dụ 6. Tìm môđun và một acgumen của số phức $z$ thỏa mãn phương trình: $\frac{{1 + {z^2}}}{{1 – {z^2}}} = i$.

Ta có: $\frac{{1 + {z^2}}}{{1 – {z^2}}} = i$ $ \Leftrightarrow 1 + {z^2} = i – i{z^2}$ $ \Leftrightarrow \left[ {1 + i} \right]{z^2} = – 1 + i$ $ \Leftrightarrow {z^2} = \frac{{ – 1 + i}}{{1 + i}}.$ ${z^2} = \frac{{ – \left[ {1 – i} \right]\left[ {1 – i} \right]}}{{\left[ {1 + i} \right]\left[ {1 – i} \right]}}$ $ = \frac{{ – \left[ {1 + {i^2} – 2i} \right]}}{{1 + 1}} = i$ $ = \cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}.$ $ \Rightarrow \left| z \right| = 1$. Đặt $z = \cos \varphi + i\sin \varphi $ $ \Rightarrow {z^2} = \cos 2\varphi + i\sin 2\varphi .$ Ta có: ${z^2} = \cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}$ $ \Leftrightarrow \cos 2\varphi + i\sin 2\varphi $ $ = \cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}$ $ \Leftrightarrow 2\varphi = \frac{\pi }{2} + k2\pi $ $ \Leftrightarrow \varphi = \frac{\pi }{4} + k\pi .$ Chọn $k = 0, 1$ ta được ${\varphi _1} = \frac{\pi }{4}, {\varphi _2} = \frac{{5\pi }}{4}.$ Vậy có $2$ số phức $z$ thỏa mãn: $\frac{{1 + {z^2}}}{{1 – {z^2}}} = i$ là:

${z_1}$ có môđun $r = 1$, một acgumen là ${\varphi _1} = \frac{\pi }{4}$ và ${z_2}$ có môđun $r = 1$, một acgumen là $\varphi = \frac{{5\pi }}{4}$.

Ví dụ 7.  Trong các acgumen của số phức ${\left[ {1 – \sqrt 3 i} \right]^8}$, tìm acgumen có số đo dương nhỏ nhất.

Ta có: $1 – \sqrt 3 i = 2\left[ {\frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right]$ $ = 2\left[ {\cos \frac{{ – \pi }}{6} + i\sin \frac{{ – \pi }}{3}} \right].$
Theo công thức Moivre ta có: $z = {2^8}\left[ {\cos \frac{{ – 8\pi }}{3} + i\sin \frac{{ – 8\pi }}{3}} \right]$. Từ đó suy ra $z$ có các họ acgumen là: $ – \frac{{8\pi }}{3} + 2k\pi , k \in R$. Ta thấy với $k = 2$ thì acgumen dương nhỏ nhất của $z$ là $\frac{{4\pi }}{3}.$

Ví dụ 8. Tìm acgumen âm lớn nhất của số phức $z = {\left[ {1 + i\sqrt 3 } \right]^{10}}.$

$z = {\left[ {1 + i\sqrt 3 } \right]^{10}}$ $ = {2^{10}}{\left[ {\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right]^{10}}$ $ = {2^{10}}{\left[ {cos\frac{\pi }{3} + i.\sin \frac{\pi }{3}} \right]^{10}}.$ Áp dụng công thức Moivre, ta có: $z = {2^{10}}\left[ {cos\frac{{10\pi }}{3} + i.\sin \frac{{10\pi }}{3}} \right]$ $ = {2^{10}}\left[ {cos\frac{{4\pi }}{3} + i.\sin \frac{{4\pi }}{3}} \right].$ Các acgumen của $z$ đều có dạng $\frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \left[ {k \in Z} \right]$. Ta có $\frac{{4\pi }}{3} + k2\pi < 0 \Leftrightarrow k < – \frac{2}{3}$ hay $k \in \left\{ {…, – 4, – 3, – 2, – 1} \right\}.$ Acgumen âm lớn nhất của $z$ tương ứng với $k = – 1.$

Vậy acgumen cần tìm của $z$ là $ – \frac{{2\pi }}{3}.$

Ví dụ 9. Giải phương trình sau trên tập hợp số phức ${\left[ {z + i} \right]^4} + 1 = i\sqrt 3 .$

Ta có: ${\left[ {z + i} \right]^4}$ $ = – 1 + i\sqrt 3 \Leftrightarrow {\left[ {z + i} \right]^4}$ $ = 2\left[ {\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3}} \right]$ $\left[ 1 \right].$ Giả sử $z + i = r\left[ {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right]$, $r \in {R^ + }$ $ \Rightarrow {\left[ {z + i} \right]^4}$ $ = {r^4}\left[ {\cos 4\varphi + i\sin 4\varphi } \right]$ $\left[ 2 \right].$ Từ $[1]$ và $[2]$ suy ra: $\left\{ \begin{array}{l} {r^4} = 2\\ \cos 4\varphi = \cos \frac{{2\pi }}{3}\\ \sin 4\varphi = \sin \frac{{2\pi }}{3} \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} r = \sqrt[4]{2}\\ \varphi = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2} \left[ {k \in Z} \right] \end{array} \right.$ Cho $k = 0, \pm 1, – 2$ ta nhận được các giá trị acgumen tương ứng của số phức $z + i$ là ${\varphi _1} = \frac{\pi }{6}$, ${\varphi _2} = \frac{{2\pi }}{3}$, ${\varphi _3} = – \frac{\pi }{3}$, ${\varphi _4} = – \frac{{5\pi }}{6}.$ Từ đó phương trình đã cho có $4$ nghiệm lần lượt là: $z + i = \sqrt[4]{2}\left[ {\cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}} \right]$ hay $z = \frac{{\sqrt[4]{{18}}}}{2} + \left[ {\frac{{\sqrt[4]{2}}}{2} – 1} \right]i.$ $z + i = \sqrt[4]{2}\left[ {\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3}} \right]$ hay $z = – \frac{{\sqrt[4]{2}}}{2} + \left[ {\frac{{\sqrt[4]{{18}}}}{2} – 1} \right]i.$ $z + i$ $ = \sqrt[4]{2}\left[ {\cos \left[ { – \frac{\pi }{3}} \right] + i\sin \left[ { – \frac{\pi }{3}} \right]} \right]$ hay $z = \frac{{\sqrt[4]{2}}}{2} – \left[ {\frac{{\sqrt[4]{{18}}}}{2} + 1} \right]i.$ $z + i$ $ = \sqrt[4]{2}\left[ {\cos \left[ { – \frac{{5\pi }}{6}} \right] + i\sin \left[ { – \frac{{5\pi }}{6}} \right]} \right]$ hay $z = – \frac{{\sqrt[4]{{18}}}}{2} – \left[ {\frac{{\sqrt[4]{2}}}{2} + 1} \right]i.$

Nhận xét: Dạng lượng giác luôn phát huy được ưu thế của mình khi xử lí các biểu thức lũy thừa bậc cao của số phức.

Ví dụ 10. Gọi ${z_1}, {z_2}$ là nghiệm của phương trình ${z^2} – \left[ {2{\mathop{\rm co}\nolimits} s\frac{{5\pi }}{{21}}} \right]z + 1 = 0$. Tìm số $n$ nguyên dương nhỏ nhất sao cho ${z_1}^n + {z_2}^n = 1.$

Đặt ${z^2} – \left[ {2{\mathop{\rm co}\nolimits} s\frac{{5\pi }}{{21}}} \right]z + 1 = 0$ $[1]$. Biệt thức của $[1]$ là: $\Delta’ = {\mathop{\rm co}\nolimits} {s^2}\frac{{5\pi }}{{21}} – 1$ $ = – {\sin ^2}\frac{{5\pi }}{{21}} = {\left[ {i{{\sin }^2}\frac{{5\pi }}{{21}}} \right]^2}.$ Vậy $[1]$ có các nghiệm là ${z_1} = {\mathop{\rm co}\nolimits} s\frac{{5\pi }}{{21}} – i\sin \frac{{5\pi }}{{21}}$ và ${z_2} = {\mathop{\rm co}\nolimits} s\frac{{5\pi }}{{21}} + i\sin \frac{{5\pi }}{{21}}.$ ${z_1}^n + {z_2}^n = 1$ $ \Leftrightarrow {\left[ {{\mathop{\rm co}\nolimits} s\frac{{5\pi }}{{21}} – i\sin \frac{{5\pi }}{{21}}} \right]^n}$ $ + {\left[ {{\mathop{\rm co}\nolimits} s\frac{{5\pi }}{{21}} + i\sin \frac{{5\pi }}{{21}}} \right]^n} = 1$ $ \Leftrightarrow {\left[ {{\mathop{\rm co}\nolimits} s\left[ { – \frac{{5\pi }}{{21}}} \right] + i\sin \left[ {\frac{{5\pi }}{{21}}} \right]} \right]^n}$ $ + {\left[ {{\mathop{\rm co}\nolimits} s\frac{{5\pi }}{{21}} + i\sin \frac{{5\pi }}{{21}}} \right]^n} = 1$ $ \Leftrightarrow {\mathop{\rm co}\nolimits} s\left[ { – \frac{{n5\pi }}{{21}}} \right] – i\sin \left[ { – \frac{{n5\pi }}{{21}}} \right]$ $ + {\mathop{\rm co}\nolimits} s\frac{{n5\pi }}{{21}} + i\sin \frac{{n5\pi }}{{21}} = 1$ $ \Leftrightarrow cos\left[ { – \frac{{n5\pi }}{{21}}} \right] + {\mathop{\rm co}\nolimits} s\frac{{n5\pi }}{{21}} = 1$ $ \Leftrightarrow 2{\mathop{\rm co}\nolimits} s\frac{{n5\pi }}{{21}} = 1$ $ \Leftrightarrow {\mathop{\rm co}\nolimits} s\frac{{n5\pi }}{{21}} = {\mathop{\rm co}\nolimits} s\frac{\pi }{3}$ $ \Leftrightarrow \frac{{n5\pi }}{{21}} = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi $ $ \Leftrightarrow n = \pm \frac{7}{5} + \frac{{42k}}{5} \left[ {k \in Z} \right] \left[ * \right].$

Vì $n$ là số nguyên nhỏ nhất nên từ $[*]$ suy ra: $n = 7.$

Ví dụ 11. Cho số phức $z$ thỏa mãn $z + \sqrt 2 i$ có một acgument bằng một acgument của $z + \sqrt 2 $ cộng với $\frac{\pi }{4}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T = \left| {z + 1} \right| + \left| {z + i} \right|.$

Đặt $z = a + bi\left[ {a,b \in R} \right]$. Khi đó $z + \sqrt 2 i$ có một acgument bằng acgument của $z + \sqrt 2 $ cộng với $\frac{\pi }{4}$ nên $\frac{{z + \sqrt 2 i}}{{z + \sqrt 2 }} = r\left[ {cos\frac{\pi }{4} + i.\sin \frac{\pi }{4}} \right]$ với $r > 0.$ $\frac{{z + \sqrt 2 i}}{{z + \sqrt 2 }} = \frac{{a + \left[ {b + \sqrt 2 } \right]i}}{{a + \sqrt 2 + bi}}$ $ = \frac{{a\left[ {a + \sqrt 2 } \right] + b\left[ {b + \sqrt 2 } \right]}}{{{{\left[ {a + \sqrt 2 } \right]}^2} + {b^2}}}$ $ + \frac{{\left[ {a + \sqrt 2 } \right]\left[ {b + \sqrt 2 } \right] – ab}}{{{{\left[ {a + \sqrt 2 } \right]}^2} + {b^2}}} – i.$ Suy ra $\frac{{a\left[ {a + \sqrt 2 } \right] + b\left[ {b + \sqrt 2 } \right]}}{{{{\left[ {a + \sqrt 2 } \right]}^2} + {b^2}}}$ $ = \frac{{\left[ {a + \sqrt 2 } \right]\left[ {b + \sqrt 2 } \right] – ab}}{{{{\left[ {a + \sqrt 2 } \right]}^2} + {b^2}}} – i > 0$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} + {b^2} = 2\\ {\left[ {a + 2} \right]^2} + {b^2} \ne 0\\ a + b + \sqrt 2 > 0 \end{array} \right. \left[ * \right].$ Ta có: $T = \left| {z + 1} \right| + \left| {z + i} \right|$ $ = \left| {a + 1 + bi} \right| + \left| {a + \left[ {b + 1} \right]i} \right|$ $ = \sqrt {{{\left[ {a + 1} \right]}^2} + {b^2}} + \sqrt {{a^2} + {{\left[ {b + 1} \right]}^2}} $ $ = \sqrt {3 + 2a} + \sqrt {3 + 2b} $ do $[*].$ Áp dụng bất đẳng thức Cosi,ta được: ${T^2} \le 2\left[ {6 + 2a + 2b} \right]$ $ \le 2\left[ {6 + 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right] = 20.$ Suy ra $T \le 2\sqrt 5$, đẳng thức xảy ra khi $a = b = 1.$

Vậy, giá trị lớn nhất của $T$ là: $2\sqrt 5$, đạt khi $z = 1 + i.$

Nguồn: toanmath.com